Symbole oznaczone i nieoznaczone w granicy ciągu
Na wyrazach dwóch lub więcej ciągów możemy wykonywać działania arytmetyczne otrzymując nowy ciąg. Jeżeli ciągi wyjściowe były zbieżne, to analogiczne działania arytmetyczne można również wykonywać na granicach właściwych tych ciągów, ale także na granicach niewłaściwych otrzymując symbole graniczne ujmowane w nawisy kwadratowe, dla zaznaczenia, że nie są to działania wykonywane na liczbach, tylko na granicach. Niektóre z tych symboli dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to jakie ciągi składowe dają określony symbol graniczny i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Niektóre znów dają różne wyniki w zależności od tego, na jakich ciągach wykonujemy działania i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.
Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik zależny tylko od granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.
Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic ciągów, z których powstaje symbol graniczny.
Rys. 1 przedstawia dwa ciągi, z których jeden (czerwony) powstaje z drugiego (niebieskiego) poprzez operację odwrócenia wyrazów ciągu tzn. \( b_n= \frac{1}{a_n} \) . Zauważamy, że jeżeli ciąg wyjściowy jest rozbieżny do \( + \infty \), to ciąg odwrotności jego wyrazów jest zbieżny do zera i na odwrót, jeżeli ciąg wyjściowy o wyrazach dodatnich jest zbieżny do zera, to ciąg odwrotności jego wyrazów jest rozbieżny do \( +\infty \).
Twierdzenie 1: o symbolach oznaczonych \( \big [ \frac{1}{0} \big ] \) i \( \big [ \frac{1}{ \infty} \big ] \)
Jeżeli \( \lim_{n \rightarrow \infty}|a_n |=0 \), to \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{|a_n |}= + \infty \)
oraz
Jeżeli \( \lim_{n \rightarrow \infty}a_n=^+_- \infty \), to \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} =0. \)
Oblicz granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2n^2+n-1} \).
Rozwiązanie:
Zauważamy, że \( 2n^2+n-1>n \) dla \( n \in \mathbb{N} \) oraz, że \( \lim_{n \rightarrow \infty} n=+ \infty \).
Z twierdzenia o dwóch ciągach mamy \( \lim_{n \rightarrow \infty} (2n^2+n-1)=+ \infty. \)
Czyli z twierdzenia o symbolach oznaczonych otrzymujemy \( \lim_{n \rightarrow \infty n} \frac{1}{2n^2+n-1}=0 \).
Oblicz granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty n} \frac{1}{\sin(\frac{1}{n})} \).
Rozwiązanie:
Zauważamy, że ciąg \( \sin(\frac{1}{n}) \) ma wyrazy dodatnie oraz, że \( \lim_{n \rightarrow \infty} | \sin(\frac{1}{n})|=0 \). Rzeczywiście nierówność \( | \sin(\frac{1}{n})-0|< \varepsilon \) jest równoważna nierówności \( n> \frac{1}{ \arcsin \varepsilon} \) , czyli, aby była spełniona definicja granicy wystarczy przyjąć \( n_0=[ \frac{1}{ \arcsin \varepsilon}]+1 \).
Z twierdzenia o symbolach oznaczonych wnioskujemy więc, że \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ \sin( \frac{1}{n} )} =+ \infty \).
Twierdzenie 2: o symbolach oznaczonych
Niech \( a \) będzie dowolna liczbą rzeczywistą. Symbolami oznaczonymi są
\( \lbrack ± \infty +a \rbrack =± \infty, \)
\( \lbrack a \cdot (± \infty) \rbrack = \begin{cases} ± \infty & \text{ dla } a>0 \\ ∓ \infty & \text{ dla } a<0 \end{cases}, \)
\( \lbrack ± \infty \cdot (± \infty) \rbrack=+ \infty , \)
\( \lbrack ± \infty \cdot (∓ \infty) \rbrack =- \infty, \)
\( \Big[\frac{a}{±\infty}\Big]=0 , \)
\( \Big[\frac{a}{0^±}\Big]= \begin{cases} ± \infty & \text{ dla } a>0 \\ ∓ \infty & \text{ dla } a<0 \end{cases}, \)
\( [\infty^a ]= \begin{cases} \infty & \text{ dla } a>0 \\ 0 & \text{ dla } a<0 \end{cases}, \)
\( [ \infty^{\infty} ]= \infty , \)
gdzie symbol \( [0^+] \) oznacza granicę ciągu o wyrazach dodatnich zbieżnego do zera, a symbol \( [0^-] \) granicę ciągu o wyrazach ujemnych zbieżnego do zera.
Oblicz granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty} (3n^3-2n^2+n-4) \)
Rozwiązanie:
Przekształcimy wyjściowe wyrażenie graniczne \( [ \infty-\infty+\infty-4] \)do znanego symbolu oznaczonego
\( \lim_{n \rightarrow \infty} (3n^3-2n^2+n-4)= \lim_{n \rightarrow \infty} n^3 (3- \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} - \frac{4}{n^3} )=[\infty \cdot (3-0+0-0)]= \infty \)
Oblicz granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty} ( \frac{n^2+1}{n+1})^n \)
Rozwiązanie:
Zauważamy, że \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+1}{n+1}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n (1+\frac{1}{n^2}) }{1+\frac{1}{n}}=[ \frac{ \infty \cdot (1+0)}{1+0}]= \infty \).
Obliczamy \( \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{n^2+1}{n+1})^n =[\infty^{\infty} ]=\infty \).
Oblicz granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ (2n+3)^{\frac{n+4}{3-n}}}{4n^3+3n} \)
Rozwiązanie:
Jako pierwszą obliczamy granicę wykładnika w potędze znajdującej się w liczniku \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+4}{3-2n} =[ \frac{\infty}{- \infty} ]= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n (1+ \frac{4}{n}) }{n ( \frac{3}{n}-2)}=[ \frac{1+0}{0-2}]=\frac{1}{-2} \)
Następnie wykorzystujemy odpowiedni symbol oznaczony do obliczenia granicy \( \lim_{n \rightarrow \infty} (2n+3)^{ \frac{n+4}{3-2n}} =[ \infty^{\frac{1}{-2}} ]=0 \). Ostateczne obliczamy granicę \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+3)^{ \frac{n+4}{3-n} }}{4n^3+3n}=[ \frac{0}{ \infty}]=0. \)
Twierdzenie 3: o symbolach nieoznaczonych
Wykaż, że symbol \( [0 \cdot \infty] \) jest nieoznaczony.
Rozwiązanie:
Wiemy, że \( \lim_{n \rightarrow \infty} n= \lim_{n \rightarrow \infty} n^2= \infty \) oraz \( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \).
Obliczamy dwie różne granice, które dają ten sam symbol nieoznaczony \( [0 \cdot \infty ] \), ale różne wyniki końcowe
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \cdot n=[0 \cdot \infty]= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot n^2 =[0 \cdot \infty]= \lim_{n \rightarrow \infty} n= \infty \).
Świadczy to o tym, że nie da się w sposób jednoznaczny określić wartości symbolu \( [0 \cdot \infty] \).
Wykaż, że symbol \( [ \infty - \infty ] \) jest nieoznaczony.
Rozwiązanie:
Znajdziemy dwa ciągi, które dają ten sam symbol graniczny \( [ \infty - \infty ] \), ale różne wyniki końcowe uzyskane za pomocą prostego przekształcenia algebraicznego
\( \lim_{n \rightarrow \infty} (n^3-n)=[ \infty - \infty ]=\lim_{n \rightarrow \infty} n^3 (1- \frac{1}{n^2} )=[ \infty \cdot (1-0) ]= \infty \)
\( \lim_{n \rightarrow \infty} (n-n^3)=[ \infty - \infty ]=\lim_{n \rightarrow \infty}n^3 ( \frac{1}{n^2} -1)=[ \infty \cdot (0-1) ]=- \infty. \)
Różne wyniki dowodzą, że nie da się w sposób jednoznaczny określić wartości symbolu \( [ \infty - \infty ] \).